Неужели команда математиков сделала большой шаг к ответу на 160-летний вопрос по математике за миллион долларов?
Может быть. Команда действительно решила ряд других, более мелких вопросов в области, называемой теорией чисел. При этом они вновь открыли старый путь, который в конечном итоге может привести к ответу на старый вопрос: верна ли гипотеза Римана?
Гипотеза Реймана является фундаментальной математической гипотезой, которая имеет огромное значение для остальной математики. Он формирует основу для многих других математических идей - но никто не знает, правда ли это. Его обоснованность стала одним из самых известных открытых вопросов по математике. Это одна из семи «проблем тысячелетия», изложенных в 2000 году, с обещанием, что тот, кто их решит, выиграет 1 миллион долларов. (Только одна из проблем была решена.)
Откуда появилась эта идея?
Еще в 1859 году немецкий математик по имени Бернхард Риманн предложил ответ на особенно сложное математическое уравнение. Его гипотеза звучит так: действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.. Это довольно абстрактное математическое утверждение, касающееся того, какие числа вы можете поместить в конкретную математическую функцию, чтобы сделать эту функцию равной нулю. Но оказывается, что это имеет большое значение, особенно в отношении вопросов о том, как часто вы будете сталкиваться с простыми числами, когда будете считать до бесконечности.
Мы вернемся к деталям гипотезы позже. Но сейчас важно знать, что, если гипотеза Римана верна, она отвечает на многие вопросы математики.
«В теории чисел часто случается так, что если вы принимаете гипотезу Римана, вы можете доказать все виды других результатов», - не причастна Лола Томпсон, теоретик чисел в Оберлинском колледже в Огайо. в этом последнем исследовании, сказал.
Часто, как она сказала «Живой науке», теоретики чисел сначала докажут, что что-то верно, если гипотеза Римана верна. Затем они будут использовать это доказательство как своего рода ступеньку к более сложному доказательству, которое показывает, что их первоначальное заключение верно, независимо от того, верна ли гипотеза Римана.
По ее словам, тот факт, что этот прием работает, убеждает многих математиков в том, что гипотеза Римана должна быть верной.
Но правда в том, что никто не знает наверняка.
Маленький шаг к доказательству?
Так как же эта небольшая команда математиков, кажется, приблизила нас к решению?
«То, что мы сделали в нашей статье, - сказал Кен Оно, теоретик чисел в Университете Эмори и соавтор нового доказательства, - мы вновь обратились к очень техническому критерию, который эквивалентен гипотезе Римана… и мы доказали большое часть этого. Мы доказали большую часть этого критерия ".
«Критерий, который эквивалентен гипотезе Римана», в данном случае относится к отдельному утверждению, которое математически эквивалентно гипотезе Римана.
На первый взгляд не очевидно, почему эти два утверждения так связаны. (Критерий связан с тем, что называется «гиперболичность полиномов Дженсена».) Но в 1920-х годах венгерский математик по имени Джордж Поля доказал, что если этот критерий верен, то гипотеза Римана верна - и наоборот. Это старый предложенный путь к доказательству гипотезы, но он был в значительной степени заброшен.
Оно и его коллеги в статье, опубликованной 21 мая в журнале «Известия естественной академии наук» (PNAS), доказали, что во многих, многих случаях критерий верен.
Но в математике многих недостаточно, чтобы считать доказательством. Есть все еще некоторые случаи, когда они не знают, является ли критерий истинным или ложным.
«Это похоже на игру в Powerball с миллионным числом», - сказал Оно. «И вы знаете все числа, кроме последних 20. Если хотя бы одно из этих последних 20 чисел неверно, вы проиграете… Все это может развалиться».
Исследователи должны были бы придумать еще более продвинутые доказательства, чтобы показать, что критерий верен во всех случаях, подтверждая тем самым гипотезу Римана. И не ясно, насколько далеко такое доказательство, сказал Оно.
Итак, насколько важна эта статья?
С точки зрения гипотезы Римана, сложно сказать, насколько это важно. Многое зависит от того, что будет дальше.
«Это лишь одна из многих эквивалентных формулировок гипотезы Римана», - сказал Томпсон.
Другими словами, есть много других идей, которые, подобно этому критерию, доказали бы, что гипотеза Римана верна, если бы они сами были доказаны.
«Итак, действительно трудно понять, насколько это прогресс, потому что, с одной стороны, он продвинулся в этом направлении. Но есть так много эквивалентных формулировок, что, возможно, это направление не даст гипотезу Римана. другие эквивалентные теоремы вместо этого будут, если кто-то может доказать одну из них ", сказал Томпсон.
Если доказательство окажется на этом пути, это, вероятно, будет означать, что Оно и его коллеги разработали важную основную структуру для решения гипотезы Римана. Но если это окажется где-то еще, то эта статья окажется менее важной.
Тем не менее, математики впечатлены.
«Хотя это еще далеко от доказательства гипотезы Римана, это большой шаг вперед», - написал Энрико Бомбьери, теоретик числа Принстона, который не принимал участия в исследовании команды, в сопроводительной статье PNAS от 23 мая. «Нет сомнений, что эта статья вдохновит на дальнейшую фундаментальную работу в других областях теории чисел, а также в математической физике».
(Бомбьери выиграл медаль Филдса - самый престижный приз по математике - в 1974 году, в значительной степени за работу, связанную с гипотезой Римана.)
Что означает гипотеза Римана?
Я обещал, что мы вернемся к этому. Опять гипотеза Римана: действительная часть каждого нетривиального нуля дзета-функции Римана равна 1/2.
Давайте разберем это в соответствии с тем, как Томпсон и Оно объяснили это.
Во-первых, что такое дзета-функция Римана?
В математике функция - это отношение между различными математическими величинами. Простой может выглядеть так: у = 2х.
Дзета-функция Римана следует тем же основным принципам. Только это намного сложнее. Вот как это выглядит.
Это сумма бесконечной последовательности, где каждый член - первые несколько 1/1 ^ s, 1/2 ^ s и 1/3 ^ s - добавляется к предыдущим терминам. Эти эллипсы означают, что ряды в функции продолжаются вечно.
Теперь мы можем ответить на второй вопрос: что такое ноль дзета-функции Римана?
Это проще «Ноль» функции - это любое число, которое вы можете ввести для x, в результате чего функция будет равна нулю.
Следующий вопрос: какова «реальная часть» одного из этих нулей, и что это значит, что он равен 1/2?
Дзета-функция Римана включает в себя то, что математики называют «комплексными числами». Комплексное число выглядит так: a + b * i.
В этом уравнении «a» и «b» обозначают любые действительные числа. Действительное число может быть любым от минус 3 до нуля, до 4,9234, пи или 1 млрд. Но есть другой вид числа: мнимые числа. Мнимые числа появляются, когда вы берете квадратный корень из отрицательного числа, и они важны, показывая во всех видах математического контекста.
Простейшим мнимым числом является квадратный корень из -1, который записывается как «i». Комплексное число - это действительное число («а») плюс другое действительное число («б»), умноженное на i. «Реальная часть» комплексного числа - это «а».
Несколько нулей дзета-функции Римана, отрицательные целые числа от -10 до 0, не учитываются для гипотезы Реймана. Они считаются «тривиальными» нулями, потому что это действительные числа, а не комплексные числа. Все остальные нули являются «нетривиальными» и комплексными числами.
Гипотеза Римана утверждает, что когда дзета-функция Римана пересекает ноль (за исключением тех нулей между -10 и 0), действительная часть комплексного числа должна быть равна 1/2.
Эта маленькая претензия может показаться не очень важной. Но это. И мы можем быть чуть ближе к решению этой проблемы.
