"Бесконечность не предел!"
Вы когда-нибудь задумывались о знаменитой фразе Базз Лайтер из фильмов "История игрушек"? Возможно нет. Но, может быть, вы иногда смотрели на ночное небо и задавались вопросом о природе самой бесконечности.
Бесконечность - это странная концепция, которую человеческому мозгу с трудом удается обернуть своим ограниченным пониманием. Мы говорим, что вселенная может быть бесконечной, но может ли она продолжаться вечно? Или цифры числа пи после десятичной дроби - они на самом деле работают бесконечно, всегда давая нам гораздо большую точность относительно соотношения между окружностью окружности и радиусом? И может ли Базз быть прав? Есть ли что-то за гранью бесконечности?
Чтобы справиться с этими изнурительными спекуляциями, Live Science обратилась за помощью к математику Генри Тауснеру из Университета Пенсильвании в Филадельфии, который был достаточно любезен, чтобы попытаться ответить на вопрос: «Можете ли вы сосчитать бесконечность?» (Будьте предупреждены: это будет сложно.)
Бесконечность, сказал Тауснер, сидит в странном месте: большинство людей чувствуют, что у них есть некоторая интуиция в отношении концепции, но чем больше они думают о ней, тем страннее она становится.
Математики, с другой стороны, не часто думают о бесконечности как о собственном понятии, добавил он. Скорее, они используют разные способы думать об этом, чтобы понять многие его аспекты.
Например, существуют разные размеры бесконечности. Это было доказано немецким математиком Георгом Кантором в конце 1800-х годов, согласно истории из университета Сент-Эндрюса в Шотландии.
Кантор знал, что натуральные числа, то есть целые положительные числа, такие как 1, 4, 27, 56 и 15 687, существуют вечно. Они бесконечны, и они также являются тем, что мы используем для подсчета вещей, поэтому он определил их как «счетно бесконечные», согласно полезному сайту по истории, математике и другим темам от образовательного мультипликатора Чарльза Фишера Купера.
Группы счетно бесконечных чисел обладают некоторыми интересными свойствами. Например, четные числа (2, 4, 6 и т. Д.) Также счетно бесконечны. И хотя технически их вдвое меньше, чем охватывается полным набором натуральных чисел, они все равно остаются бесконечными.
Другими словами, вы можете поместить все четные числа и все натуральные числа бок о бок в два столбца, и оба столбца уйдут в бесконечность, но они имеют одинаковую «длину» бесконечности. Это означает, что половина исчисляемой бесконечности - все еще бесконечность.
Но великое понимание Кантора состояло в том, чтобы понять, что были другие наборы чисел, которые были бесконечно бесконечны. Вещественные числа - которые включают в себя натуральные числа, а также дроби и иррациональные числа, такие как пи - более бесконечны, чем натуральные числа. (Если вы хотите знать, как Кантор сделал это и может иметь дело с некоторыми математическими обозначениями, вы можете проверить эту таблицу из Университета штата Мэн.)
Если бы вы выстроили все натуральные числа и все действительные числа рядом в два столбца, действительные числа вышли бы за пределы бесконечности натуральных чисел. Позже Кантор сошел с ума, вероятно, по причинам, не связанным с его работой над бесконечностью, согласно Куперу.
Что считать?
Итак, вернемся к вопросу подсчета прошедшей бесконечности. «Математика заставляет вас спросить:« Что это на самом деле означает? »- сказал Тоуснер. «Что вы имеете в виду, считая прошлую бесконечность?»
Чтобы разобраться в проблеме, Тоуснер рассказал о порядковых номерах. В отличие от кардинальных чисел (1, 2, 3 и т. Д.), Которые сообщают вам, сколько вещей в наборе, ординалы определяются их позициями (первое, второе, третье и т. Д.), А также вводятся в математику Кантор, по данным математического сайта Wolfram MathWorld.
По словам Тауснера, в порядковых числах содержится понятие омега, обозначаемое греческой буквой ω. Символ ω определяется как вещь, которая следует за всеми другими натуральными числами - или, как назвал его Кантор, первым трансфинитным ординалом.
Но одна из особенностей чисел заключается в том, что вы всегда можете добавить еще один в конце, сказал Тоуснер. Таким образом, существует такая вещь, как ω + 1, ω + 2 и даже ω + ω. (В случае, если вам интересно, вы в конце концов нажмете на число, называемое ω1, которое называется первым неисчисляемым порядковым числом.)
И так как подсчет похож на добавление дополнительных чисел, эти концепции позволяют вам считать бесконечность, сказал Тоуснер.
Странность всего этого - одна из причин, по которой математики настаивают на строгом определении своих терминов, добавил он. Если не все в порядке, трудно отделить нашу обычную человеческую интуицию от того, что может быть доказано математически.
«Математика говорит вам:« Глубоко исследуй, что значит? »- сказал Тоуснер.
Для нас, простых смертных, эти идеи могут быть сложными для полного вычисления. Как именно работающие математики справляются со всеми этими забавными делами в своих повседневных исследованиях?
«Во многом это практика», сказал Тауснер. «Вы разрабатываете новые интуиции с экспозицией, и когда интуиция терпит неудачу, вы можете сказать:« Мы говорим об этом точном пошаговом строгом доказательстве ». Так что, если это доказательство удивительно, мы все еще можем проверить, что оно правильное, и затем научиться развивать новую интуицию вокруг этого ».
