Математики обнаружили большое новое доказательство одной из самых известных непроверенных идей в математике, известной как гипотеза двойного простого числа. Но путь, который они выбрали, чтобы найти эти доказательства, вероятно, не поможет доказать саму гипотезу о двойном простом.
Гипотеза о двойных простых числах заключается в том, как и когда простые числа - числа, которые делятся только на себя и 1 - появляются в числовой строке. «Двойные простые числа» - это простые числа, которые находятся на расстоянии двух шагов друг от друга в этой строке: 3 и 5, 5 и 7, 29 и 31, 137 и 139 и так далее. Гипотеза о двойных простых числах утверждает, что существует бесконечно много простых чисел, и что вы будете сталкиваться с ними независимо от того, как далеко вы пройдете по числовой линии. В нем также говорится, что существует бесконечно много пар простых чисел с любым другим возможным промежутком между ними (пары простых чисел, которые находятся на расстоянии четырех шагов, восьми шагов друг от друга, 200 000 шагов друг от друга и т. Д.). Математики уверены, что это правда. Похоже, это правда. И если бы это было не так, это означало бы, что простые числа не так случайны, как все думали, что могло бы испортить множество идей о том, как числа работают в целом. Но никто так и не смог доказать это.
Хотя они могут быть ближе, чем когда-либо прежде. В статье, опубликованной 12 августа в препринтном журнале arXiv, как впервые сообщал Quanta, два математика доказали, что гипотеза двойного простого числа верна - по крайней мере, в своего рода альтернативной вселенной.
Это то, что делают математики: работайте над большими доказательствами, доказывая меньшие идеи по пути. Иногда уроки, извлеченные из этих меньших доказательств, могут помочь с большими доказательствами.
В этом случае математики Уилл Савин из Колумбийского университета и Марк Шустерман из Висконсинского университета доказали версию гипотезы двойного простого числа для альтернативной вселенной «конечных полей»: системы счисления, которые не уходят в бесконечность, как числовая линия, но вместо этого вернитесь на себя.
Вы, вероятно, сталкиваетесь с конечным полем каждый день на часах. Идет 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, а затем возвращается к 1. В этом конечном поле 3 + 3 по-прежнему равно 6. Но 3 + 11 = 2.
Конечные поля имеют полиномы или выражения типа «4x» или «3x + 17x ^ 2-4», сказал Савин в интервью Live Science, как и обычные числа. Математики, по его словам, узнали, что многочлены над конечными полями ведут себя во многом как целые числа - целые числа в числовой строке. Утверждения, которые верны в отношении целых чисел, как правило, также доверяют полиномам над конечными полями, и наоборот. И так же, как простые числа приходят парами, многочлены идут парами. Например, близнецы 3x + 17x ^ 2-4 3x + 17x ^ 2-2 и 3x + 17x ^ 2-6. Савин сказал, что в многочленах хорошо то, что в отличие от целых чисел, когда вы наносите их на график, они создают геометрические фигуры. Например, 2x + 1 создает график, который выглядит следующим образом:
И 5x + x ^ 2 создает график, который выглядит следующим образом:
Поскольку многочлены отображают фигуры, а не точки, которые вы получаете при построении графиков отдельных простых чисел, вы можете использовать геометрию, чтобы доказать то, что не так, как простые целые числа, о полиномах.
«Мы были не первыми, кто заметил, что вы можете использовать геометрию для понимания конечных полей», - сказал Шустерман в интервью Live Science.
Другие исследователи доказали меньшую версию гипотезы двойных простых чисел об определенных видах полиномов над конечными полями. По словам Савина, доказательства Сойна и Шустермана заставили исследователей вернуться и начать все с нуля во многих отношениях.
«У нас было наблюдение, которое позволило нам выполнить трюк… который сделал геометрию намного лучше, так что она применима во всех этих случаях», - сказал Шустерман.
Этот геометрический трюк, по его словам, привел к их прорыву: доказательство того, что эта специальная версия гипотезы о двойных простых числах верна для всех многочленов над конечными полями, а не только для некоторых из них.
Плохая новость, сказал Савин, заключается в том, что, поскольку их уловка в значительной степени зависит от геометрии, вероятно, не удастся использовать ее для доказательства самой гипотезы двойного простого числа. Основная математика слишком отличается.
Тем не менее, сказал Шустерман, доказательство случая конечных полей - это большое новое свидетельство, которое можно добавить к куче, дразня математиков возможностью того, что доказательство, которого все ждут, где-то там.
Как будто они хотели увидеть вершину высокой крутой горы и вместо этого поднялись на другую гору поблизости. Они почти видят далекий пик, но он окутан облаками. И маршрут, который они выбрали, чтобы достичь вершины второй горы, вероятно, не сработает на горе, которая им действительно интересна.
Шустерман сказал, что он надеется продолжать работать с Савином над проблемой двойных простых чисел, и что всегда возможно то, чему они научились, делая это доказательство, в конце концов окажется важным для доказательства гипотезы о двойном простом числе.
