Мой физический смысл говорит мне, что скорость выброса - это скорость побега.
Эта минимизация могла бы работать лучше с отношением полного изменения энергии астероидной системы плюс выброшенный материал к энергии выброшенного материала. Уравнение ракеты имеет некоторую помощь. Уравнение ракеты является результатом сохранения импульса с
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
где V - скорость реакции массы,? v и? m - изменение скорости и потери массы "ракеты", или в этом случае астероида, а m и v - начальная масса и скорость объекта. Мы устанавливаем v = 0 и получаем
? v = V (? м / м)
и интегрированная скорость вверх равна v = V ln (m_i / m_f), для m_i - начальная масса, а m_f - конечная масса. Если изменение массы мало, мы имеем
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
и импульс астероида в конце равен p ~ = V (m_i - m_f). Пусть теперь V = u - v_e, для v_e - скорость убегания и u - скорость отбрасываемого объекта. Это означает, что V - скорость выброшенного объекта «на бесконечности».
Теперь предположим, что мы хотим минимизировать кинетическую энергию астероида K = (1/2) p ^ 2 / m_f для данной отбрасываемой кинетической энергии E = (1/2)? Mu ^ 2. Мы строим безразмерное соотношение,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
Кстати, важно работать с безразмерным соотношением. Таким образом, мы минимизируем это для заданного? M и вычисляем u. Поэтому мы минимизируем
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
и это ноль при v_e = u. Это кажется немного странным, учитывая формулу уравнения ракеты, но я буду обсуждать это ниже.
Затем мы берем вторую производную, чтобы определить, является ли это максимум или минимум, и мы получаем
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
который при u = v_e равен -2 <0, и поэтому это минута, что мы хотим. Также ясно, что u = v_e - минимальная кинетическая энергия, которую мы можем придать массе.
Звучит странно, что мы имеем v ~ = V (m_i / m_f - 1), который для V = u - v_e равен нулю при u = v_e. Однако при u = v_e астероид движется наружу, пока отброшенный объект не достигнет бесконечности. Цель этого состоит в том, чтобы создать смещение астероида, и когда отброшенный объект достигнет «бесконечности», астероид достигнет некоторого расстояния смещения.
LC
